W15. Векторы, матрицы, прямые, плоскости, конические сечения, линейные преобразования, полярные координаты, квадрики

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

9 декабря 2025 г.

1. Краткое содержание

1.1 Векторы и скалярное произведение

Вектор (vector) — объект с величиной (magnitude) и направлением (direction). В \(\mathbb{R}^3\) векторы часто записывают как упорядованную тройку \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) или столбец.

1.1.1 Скалярное произведение (dot product)

Скалярное произведение (dot product) двух векторов — операция, результат которой — скаляр (вещественное число). Для \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) и \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\):

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\]

Геометрически, если \(\theta\) — угол между векторами:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\]

где \(|\vec{a}|\) — норма / длина (norm, magnitude): \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\).

1.1.2 Перпендикулярность и ортогональность

Два вектора перпендикулярны / ортогональны (orthogonal) тогда и только тогда, когда \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). Это основной критерий в геометрических задачах.

1.1.3 Тождество параллелограмма

Закон параллелограмма (parallelogram law):

\[(\vec{a} + \vec{b})^2 + (\vec{a} - \vec{b})^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\]

Геометрически: в параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех четырёх сторон.

1.2 Векторное произведение (cross product)

Векторное произведение (cross product) в \(\mathbb{R}^3\) даёт вектор, ортогональный обоим исходным.

1.2.1 Определение и вычисление

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\]

Раскрытие:

\[\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}\]

1.2.2 Геометрический смысл

\(|\vec{a} \times \vec{b}|\) равно площади параллелограмма, натянутого на \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta\]

1.2.3 Важное тождество

\[|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2\]

Оно объединяет \(\sin\theta\) и \(\cos\theta\) и следует из \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).

1.3 Смешанное произведение

Смешанное произведение (scalar triple product) сочетает \(\times\) и \(\cdot\).

1.3.1 Определение

\[\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\]

и как определитель:

\[\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\]

1.3.2 Геометрия

\(|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|\) — объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах.

1.3.3 Тест на компланарность

Если смешанное произведение равно 0, векторы компланарны (coplanar). Для четырёх точек \(A,B,C,D\) проверяют \(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = 0\).

1.4 Прямые на плоскости

Прямая (line) на плоскости допускает несколько эквивалентных записей.

1.4.1 Общий вид

\[Ax + By + C = 0\]

где \((A,B)\) — вектор нормали (normal) к прямой.

1.4.2 Уравнение с угловым коэффициентом

При \(B \neq 0\):

\[y = mx + b\]

\(m = -A/B\) — наклон (slope), \(b = -C/B\) — отрезок на оси \(y\).

1.4.3 Взаимное расположение двух прямых

Для \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) и \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\):

Параллельны (parallel): \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}\)
Совпадают (coincident): \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}\)
Пересекаются (intersecting): \(\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}\)
Перпендикулярны (perpendicular): \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)

1.4.4 Расстояние от точки до прямой

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

1.4.5 Проекция точки на прямую

Проекция (projection) точки на прямую — пересечение данной прямой с перпендикуляром через точку.

1.5 Плоскости в пространстве

Плоскость (plane) в \(\mathbb{R}^3\) — бесконечная двумерная поверхность.

1.5.1 Общий вид

\[Ax + By + Cz + D = 0\]

\((A,B,C)\) — нормаль (normal vector) к плоскости.

1.5.2 Уравнение «точка + нормаль»

Через \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) с нормалью \(\vec{n}=(A,B,C)\):

\[A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\]

1.5.3 Плоскость через три точки

Векторы \(\vec{M_1M_2}\), \(\vec{M_1M_3}\)
\(\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}\)
Форма «точка + нормаль»

1.5.4 Взаимное расположение трёх плоскостей

Если определитель из нормалей ненулевой, три плоскости пересекаются в одной точке.

1.5.5 Расстояние от точки до плоскости

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

1.6 Прямые в пространстве

1.6.1 Канонические уравнения

\[\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}\]

через \(M_0\) с направлением \(\vec{v}=(l,m,n)\).

1.6.2 Параметрические уравнения

\[\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}\]

1.6.3 Прямая как пересечение плоскостей

\[\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}\]

Направление: \(\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2\); точку ищут, фиксируя удобную координату.

1.6.4 Угол между прямыми

\[\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| |\vec{v}_2|}\]

модуль даёт острый угол.

1.7 Конические сечения (кривые второго порядка)

Конические сечения (conic sections) — сечения двойного конуса плоскостью: эллипсы, параболы, гиперболы.

1.7.1 Общее уравнение

\[Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0\]

1.7.2 Классификация по дискриминанту

\(\Delta = B^2 - 4AC\):

\(\Delta < 0\): эллипс (окружность, если \(A=C\) и \(B=0\))
\(\Delta = 0\): парабола
\(\Delta > 0\): гипербола

1.7.3 Эллипс

Множество точек с постоянной суммой расстояний до двух фокусов.

Канон: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), \(a > b > 0\)

Большая полуось (semi-major axis): \(a\)
Малая полуось (semi-minor axis): \(b\)
Эксцентриситет: \(e = \frac{c}{a}\), \(c^2 = a^2 - b^2\), \(0 < e < 1\)
Фокусы: \((\pm c, 0)\)
Директрисы: \(x = \pm \frac{a}{e}\)

1.7.4 Гипербола

Множество точек с постоянной модулем разности расстояний до фокусов.

Канон: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Полудействительная ось (semi-transverse axis): \(a\)
Полумнимая ось (semi-conjugate axis): \(b\)
Эксцентриситет: \(e = \frac{c}{a}\), \(c^2 = a^2 + b^2\), \(e > 1\)
Фокусы: \((\pm c, 0)\)
Директрисы: \(x = \pm \frac{a}{e}\)
Асимптоты: \(y = \pm \frac{b}{a}x\)

1.7.5 Парабола

Равные расстояния до фокуса и директрисы.

Канон: \(y^2 = 2px\), \(p > 0\)

Фокус: \((p/2, 0)\)
Директриса: \(x = -p/2\)
Эксцентриситет: \(e = 1\)
Вершина: \((0,0)\) в этом каноне

1.7.6 Поворот осей

Если \(B \neq 0\), член \(xy\) убирают поворотом:

\[\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}\]

\[\begin{cases} x = x'\cos\theta - y'\sin\theta \\ y = x'\sin\theta + y'\cos\theta \end{cases}\]

При \(\theta = 45^\circ\):

\[\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}}(x' - y') \\ y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x' + y') \end{cases}\]

1.8 Полярные координаты

Полярные координаты (polar coordinates) задают точку расстоянием \(r\) (или \(\rho\)) и углом \(\theta\) (иногда в источниках угол обозначают \(\varphi\)).

1.8.1 Определение

\(r\) (или \(\rho\)): расстояние до начала
\(\theta\) (или \(\varphi\)): угол от положительной оси \(x\) до луча на точку

1.8.2 Формулы перехода

Полярные → декартовы: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)
Декартовы → полярные: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta = \arctan(y/x)\)

1.8.3 Коники в полярных координатах

Если фокус в начале координат:

\[r = \frac{ed}{1 + e\cos(\theta - \theta_0)}\]

где \(e\) — эксцентриситет, \(d\) связан с директрисой.

1.9 Матрицы

Матрица (matrix) — прямоугольная таблица чисел.

1.9.1 Базовые объекты

Матрица \(m \times n\):

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}\]

Квадратная матрица (square matrix): \(m=n\)
Единичная матрица (identity matrix) \(I\)
Нулевая матрица (zero matrix)

1.9.2 Операции

Сложение, умножение на скаляр, умножение матриц:

\[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}\]

В общем случае \(AB \neq BA\) (некоммутативно).

Транспонирование (transpose): \((A^T)_{ij} = A_{ji}\)

1.9.3 Определитель

\[\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc\]

Для больших размеров — разложение по минорам (cofactor expansion).

1.9.4 Обратная матрица

\(A^{-1}\) существует \(\Leftrightarrow\) \(\det(A) \neq 0\), и \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\).

\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

1.9.5 Ранг матрицы

Ранг (rank) — максимальное число линейно независимых строк (или столбцов); находят, например, методом Гаусса.

1.10 Линейная независимость и базис

1.10.1 Линейная независимость

Векторы линейно независимы, если из

\[c_1\vec{v}_1 + \cdots + c_n\vec{v}_n = \vec{0}\]

следует \(c_1=\cdots=c_n=0\). Иначе — линейно зависимы.

1.10.2 Базис

Базис (basis) — максимальный набор ЛНЗ векторов, натягивающий пространство. Стандартный базис в \(\mathbb{R}^3\): \(\{\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\}\).

1.10.3 Смена базиса

Матрица перехода (transition matrix) \(P_{E \leftarrow B}\):

\[[\vec{x}]_E = P_{E \leftarrow B}[\vec{x}]_B\]

Столбцы \(P_{E \leftarrow B}\) — координаты базисных векторов \(B\) в \(E\).

1.11 Подпространства

Подпространство (subspace) \(W \subseteq \mathbb{R}^n\) замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

1.11.1 Критерий

\(\vec{0} \in W\)
\(\vec{u},\vec{v}\in W \Rightarrow \vec{u}+\vec{v}\in W\)
\(\vec{v}\in W,\ c\in\mathbb{R} \Rightarrow c\vec{v}\in W\)

1.11.2 Примеры

Плоскости и прямые через начало — подпространства
Плоскости/прямые не через начало — не подпространства

1.12 Линейные преобразования

Линейное преобразование (linear transformation) \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) сохраняет сложение и умножение на скаляр.

1.12.1 Определение

\(T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})\)
\(T(c\vec{v})=cT(\vec{v})\)

1.12.2 Матрица преобразования

Существует \([T]\) размера \(m\times n\): \(T(\vec{x})=[T]\vec{x}\).

1.12.3 Ядро и образ

Ядро / нуль-пространство (kernel, null space): \(\ker(T)=\{\vec{x}: T(\vec{x})=\vec{0}\}\)
Образ / диапазон (image, range): \(\mathrm{im}(T)=\{T(\vec{x}):\vec{x}\in\mathbb{R}^n\}\)

1.12.4 Теорема о ранге и дефекте

\[\dim(\ker(T))+\dim(\mathrm{im}(T))=n\]

Здесь \(\dim(\mathrm{im}(T))=\mathrm{rank}(T)\), \(\dim(\ker(T))=\mathrm{nullity}(T)\).

1.13 Квадрики

Квадрики (quadric surfaces) — поверхности второго порядка в \(x,y,z\).

1.13.1 Эллипсоид

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\]

Замкнутая ограниченная поверхность; при \(a=b=c\) — сфера.

1.13.2 Однополостный гиперболоид

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\]

Связная бесконечная поверхность с «талией».

1.13.3 Двуполостный гиперболоид

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\]

Два листа: \(x\ge a\) и \(x\le -a\).

1.13.4 Эллиптический параболоид

\[z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\]

Сечения \(z=\mathrm{const}\) — эллипсы.

1.13.5 Гиперболический параболоид

\[z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\]

«Седло».

1.13.6 Конус

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0\]

Вершина в начале; правая часть \(0\) отличает от гиперболоидов.

1.13.7 Сечения

Анализируют пересечения с координатными плоскостями и параллельными плоскостями.

1.14 Системы линейных уравнений

1.14.1 Метод Гаусса

Исключение Гаусса (Gaussian elimination) приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду (row echelon form) элементарными преобразованиями строк.

1.14.2 Правило Крамера

Для \(A\vec{x}=\vec{b}\) с \(\det(A)\neq 0\):

\[x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}\]

где \(A_i\) — \(A\) с заменой \(i\)-го столбца на \(\vec{b}\).

2. Определения

Вектор (Vector): величина + направление; упорядованный набор координат.
Скалярное произведение (Scalar / dot product): \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
Норма / длина (Magnitude, norm): \(|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\).
Ортогональность (Orthogonal): \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\).
Векторное произведение (Cross product): \(\vec{a}\times\vec{b}\) в \(\mathbb{R}^3\).
Смешанное произведение (Scalar triple product): \(\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\); объём параллелепипеда.
Компланарность (Coplanar): лежат в одной плоскости.
Прямая (Line): одномерная бесконечная кривая.
Плоскость (Plane): двумерная поверхность в \(\mathbb{R}^3\).
Нормальный вектор (Normal vector): к прямой (2D) или плоскости (3D).
Направляющий вектор (Direction vector): направление прямой.
Параллельные прямые (Parallel lines): не пересекаются (коллинеарные направления/нормали).
Совпадающие прямые (Coincident lines): одинаковые уравнения.
Скрещивающиеся прямые (Skew lines): в \(\mathbb{R}^3\) не параллельны и не пересекаются.
Коническое сечение (Conic section): эллипс/парабола/гипербола.
Эллипс (Ellipse): сумма расстояний до фокусов постоянна.
Гипербола (Hyperbola): модуль разности расстояний до фокусов постоянен.
Парабола (Parabola): равные расстояния до фокуса и директрисы.
Эксцентриситет (Eccentricity): \(e<1\), \(e=1\), \(e>1\) для эллипса/параболы/гиперболы.
Фокус / фокусы (Focus, foci).
Директриса (Directrix).
Асимптота (Asymptote).
Дискриминант (Discriminant): \(\Delta=B^2-4AC\) для общего уравнения коники.
Полярные координаты (Polar coordinates).
Матрица (Matrix).
Квадратная матрица (Square matrix).
Единичная матрица (Identity matrix).
Определитель (Determinant).
Обратная матрица (Matrix inverse).
Транспонирование (Transpose).
Ранг матрицы (Matrix rank).
Линейная независимость / зависимость (Linear independence / dependence).
Базис (Basis).
Стандартный базис (Standard basis).
Матрица перехода (Transition matrix).
Подпространство (Subspace).
Линейное преобразование (Linear transformation).
Ядро (Kernel / null space).
Образ (Image / range).
Теорема о ранге и дефекте (Rank–nullity theorem).
Квадрика (Quadric surface).
Эллипсоид (Ellipsoid).
Гиперболоид (Hyperboloid).
Параболоид (Paraboloid).
Конус (Cone).
Исключение Гаусса (Gaussian elimination).
Правило Крамера (Cramer’s rule).
Расширенная матрица (Augmented matrix).

3. Формулы

Скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)
Длина вектора: \(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\)
Перпендикулярность: \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
Тождество параллелограмма: \((\vec{a} + \vec{b})^2 + (\vec{a} - \vec{b})^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\)
Векторное произведение: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\)
Модуль векторного произведения: \(|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) (площадь параллелограмма)
Тождество для \(\cdot\) и \(\times\): \(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\)
Смешанное произведение: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\) (объём параллелепипеда)
Компланарность четырёх точек: \(\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = 0\)
Расстояние точка–прямая (2D): \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)
Перпендикулярность прямых (2D): \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)
Плоскость (точка + нормаль): \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\)
Расстояние точка–плоскость: \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)
Прямая в пространстве (канонический вид): \(\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}\)
Прямая в пространстве (параметрически): \(x = x_0 + lt\), \(y = y_0 + mt\), \(z = z_0 + nt\), \(t \in \mathbb{R}\)
Угол между прямыми: \(\cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|}\)
Дискриминант коники: \(\Delta = B^2 - 4AC\)
Канонический эллипс: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), \(a > b > 0\)
Эксцентриситет эллипса: \(e = \frac{c}{a}\), \(c^2 = a^2 - b^2\), \(0 < e < 1\)
Каноническая гипербола: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Эксцентриситет гиперболы: \(e = \frac{c}{a}\), \(c^2 = a^2 + b^2\), \(e > 1\)
Асимптоты гиперболы: \(y = \pm\frac{b}{a}x\)
Каноническая парабола: \(y^2 = 2px\) или \(x^2 = 2py\)
Эксцентриситет параболы: \(e = 1\)
Угол поворота для приведения коники: \(\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}\)
Поворот координат: \(x = x'\cos\theta - y'\sin\theta\), \(y = x'\sin\theta + y'\cos\theta\)
Полярные → декартовы: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)
Декартовы → полярные: \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta = \arctan(y/x)\)
Коника в полярной форме: \(r = \frac{ed}{1 + e\cos\theta}\) (фокус в начале)
Умножение матриц: \((AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik}B_{kj}\)
Определитель \(2\times 2\): \(\det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc\)
Обратная матрица \(2\times 2\): \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\)
Смена базиса: \([\vec{x}]_E = P_{E \leftarrow B}[\vec{x}]_B\)
Ранг–дефект: \(\dim(\ker(T)) + \dim(\mathrm{im}(T)) = \dim(\text{domain})\)
Крамер: \(x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}\)
Эллипсоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\)
Однополостный гиперболоид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
Двуполостный гиперболоид: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\)
Эллиптический параболоид: \(z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\)
Гиперболический параболоид: \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)
Конус: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0\)

4. Примеры

4.1. Перпендикулярность векторов через скалярное произведение (Итоговый повтор, Задание 1)

Prove that vectors \(\vec{d} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) - \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})\) and \(\vec{c}\) are perpendicular.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Two vectors are perpendicular if and only if their scalar product equals zero.

Compute the scalar product \(\vec{d} \cdot \vec{c}\):

\[\vec{d} \cdot \vec{c} = [\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) - \vec{b}(\vec{a} \cdot \vec{c})] \cdot \vec{c}\]

Distribute the dot product:

\[= \vec{a} \cdot \vec{c} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c}) - \vec{b} \cdot \vec{c} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{c})\]

Note that scalar products are commutative: Both terms are equal (they’re just products of scalars), so they cancel:

\[= (\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{a} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0\]

Conclusion: Since \(\vec{d} \cdot \vec{c} = 0\), we have \(\vec{d} \perp \vec{c}\).

Ответ: The vectors are perpendicular since their scalar product equals zero.

4.2. Проверка тождества параллелограмма (Итоговый повтор, Задание 2)

Verify \((\vec{a} + \vec{b})^2 + (\vec{a} - \vec{b})^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\) and give a geometric interpretation.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The square of a vector \(\vec{v}^2\) means \(\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2\).

Expand \((\vec{a} + \vec{b})^2\):

\[(\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\]

Expand \((\vec{a} - \vec{b})^2\):

\[(\vec{a} - \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\]

Add the two expansions:

\[(\vec{a} + \vec{b})^2 + (\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\]

Simplify (the \(2(\vec{a} \cdot \vec{b})\) terms cancel):

\[= 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\]

Геометрическая интерпретация: In a parallelogram formed by vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\), the diagonals are \(\vec{a} + \vec{b}\) and \(\vec{a} - \vec{b}\). The sides have lengths \(|\vec{a}|\) and \(|\vec{b}|\). This identity states that the sum of the squares of the diagonal lengths equals the sum of the squares of all four side lengths.

Ответ: Identity verified; it represents the parallelogram law.

4.3. Перпендикулярные диагонали (Итоговый повтор, Задание 3)

Given \(A(1, -2, 2)\), \(B(1, 4, 0)\), \(C(-4, 1, 1)\), \(D(-5, -5, 3)\). Prove that diagonals \(AC\) and \(BD\) are perpendicular.

Нажмите, чтобы показать решение

Find vector \(\vec{AC}\):

\[\vec{AC} = C - A = (-4-1, 1-(-2), 1-2) = (-5, 3, -1)\]

Find vector \(\vec{BD}\):

\[\vec{BD} = D - B = (-5-1, -5-4, 3-0) = (-6, -9, 3)\]

Compute the scalar product:

\[\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-5)(-6) + (3)(-9) + (-1)(3) = 30 - 27 - 3 = 0\]

Conclusion: Since \(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0\), the diagonals are perpendicular.

Ответ: The diagonals \(AC\) and \(BD\) are perpendicular.

4.4. Площадь параллелограмма (Итоговый повтор, Задание 4)

Find the area of the parallelogram formed by vectors \(\vec{a} = (8, 4, 1)\) and \(\vec{b} = (2, -1, 1)\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The area of a parallelogram formed by two vectors equals the magnitude of their cross product.

Compute the cross product \(\vec{a} \times \vec{b}\):

\[\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 8 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}\]

Expand the determinant:

\[= \mathbf{i}(4 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(8 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(8 \cdot (-1) - 4 \cdot 2)\]

\[= \mathbf{i}(4 + 1) - \mathbf{j}(8 - 2) + \mathbf{k}(-8 - 8)\]

\[= 5\mathbf{i} - 6\mathbf{j} - 16\mathbf{k} = (5, -6, -16)\]

Find the magnitude:

\[|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-6)^2 + (-16)^2} = \sqrt{25 + 36 + 256} = \sqrt{317}\]

Ответ: The area of the parallelogram is \(\sqrt{317}\) square units.

4.5. Тождество для скалярного и векторного произведений (Итоговый повтор, Задание 5)

Prove \(|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Use the geometric interpretations of dot and cross products in terms of the angle between vectors.

Express cross product magnitude:

\[|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\]

where \(\theta\) is the angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\).

Express dot product:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\]

Square both expressions:

\[|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2\theta\]

\[(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos^2\theta\]

Add them together:

\[|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2\theta + |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\cos^2\theta\]

Factor out common terms:

\[= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\]

Apply the Pythagorean identity \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\):

\[= |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\]

Ответ: The identity is proven using the geometric definitions and the Pythagorean identity.

4.6. Компланарность четырёх точек (Итоговый повтор, Задание 6)

Prove that points \(A(1, 2, -1)\), \(B(0, 1, 5)\), \(C(-1, 2, 1)\), \(D(2, 1, 3)\) lie on the same plane.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Four points are coplanar if and only if the scalar triple product of three vectors connecting them equals zero.

Find vectors from point \(A\) to the other points:

\[\vec{AB} = B - A = (0-1, 1-2, 5-(-1)) = (-1, -1, 6)\]

\[\vec{AC} = C - A = (-1-1, 2-2, 1-(-1)) = (-2, 0, 2)\]

\[\vec{AD} = D - A = (2-1, 1-2, 3-(-1)) = (1, -1, 4)\]

Compute \(\vec{AC} \times \vec{AD}\):

\[\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}(0 \cdot 4 - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}((-2) \cdot 4 - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}((-2) \cdot (-1) - 0 \cdot 1)\]

\[= \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-10) + \mathbf{k}(2) = (2, 10, 2)\]

Compute the scalar triple product:

\[\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}) = (-1, -1, 6) \cdot (2, 10, 2)\]

\[= (-1)(2) + (-1)(10) + (6)(2) = -2 - 10 + 12 = 0\]

Conclusion: Since the scalar triple product equals zero, the four points are coplanar.

Ответ: The points lie on the same plane.

4.7. Проекция точки на прямую (Итоговый повтор, Задание 7)

Find the projection of point \((-5, 6)\) onto the line \(7x - 13y - 105 = 0\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The projection of a point onto a line is found by constructing a perpendicular from the point to the line and finding the intersection.

Find the perpendicular direction: The line has normal vector \((7, -13)\), so its direction vector is \((13, 7)\) (perpendicular to the normal). The perpendicular to this line has direction \((-13, 7)\) or equivalently slope \(-13/7\).
Write the equation of the perpendicular line through \((-5, 6)\):

Using point-slope form with slope \(-13/7\):

\[y - 6 = -\frac{13}{7}(x - (-5))\]

\[y - 6 = -\frac{13}{7}(x + 5)\]

\[7(y - 6) = -13(x + 5)\]

\[7y - 42 = -13x - 65\]

\[13x + 7y + 23 = 0\]

Solve the system of the original line and the perpendicular:

\[\begin{cases} 7x - 13y - 105 = 0 \\ 13x + 7y + 23 = 0 \end{cases}\]

Multiply first equation by 7: \(49x - 91y - 735 = 0\)

Multiply second equation by 13: \(169x + 91y + 299 = 0\)

Add them: \(218x - 436 = 0\), so \(x = 2\)

Find \(y\): Substitute \(x = 2\) into \(13x + 7y + 23 = 0\):

\[13(2) + 7y + 23 = 0\]

\[26 + 7y + 23 = 0\]

\[7y = -49\]

\[y = -7\]

Ответ: The projection is \((2, -7)\).

4.8. Взаимное расположение прямых (часть 1) (Итоговый повтор, Задание 8a)

Determine the relationship between the lines \(x - 2y + 4 = 0\) and \(-2x + 4y - 8 = 0\).

Нажмите, чтобы показать решение

Divide the second equation by \(-2\):

\[\frac{-2x + 4y - 8}{-2} = \frac{0}{-2}\]

\[x - 2y + 4 = 0\]

Compare: The second equation becomes identical to the first equation.

Ответ: The lines are coincident (they are the same line).

4.9. Взаимное расположение прямых (часть 2) (Итоговый повтор, Задание 8b)

Determine the relationship between the lines \(x + y + 5 = 0\) and \(2x + 3y + 10 = 0\).

Нажмите, чтобы показать решение

Check if parallel: Compare ratios \(\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{2}\) and \(\frac{B_1}{B_2} = \frac{1}{3}\).

Since \(\frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}\), the lines are not parallel.

Find intersection: Multiply first equation by 2:

\[2x + 2y + 10 = 0\]

Subtract from second equation:

\[2x + 3y + 10 - (2x + 2y + 10) = 0\]

\[y = 0\]

Substitute into first equation: \(x + 0 + 5 = 0\), so \(x = -5\).

Ответ: The lines intersect at point \((-5, 0)\).

4.10. Взаимное расположение прямых (часть 3) (Итоговый повтор, Задание 8c)

Determine the relationship between the lines \(4x + 6y - 7 = 0\) and \(2x + 3y - 1 = 0\).

Нажмите, чтобы показать решение

Multiply the second equation by 2:

\[2(2x + 3y - 1) = 0\]

\[4x + 6y - 2 = 0\]

Compare with the first equation \(4x + 6y - 7 = 0\):

The coefficients of \(x\) and \(y\) match (\(\frac{4}{4} = \frac{6}{6} = 1\)), but \(\frac{-7}{-2} \neq 1\).

Ответ: The lines are parallel (they have the same direction but different \(y\)-intercepts).

4.11. Перпендикулярные прямые (часть 1) (Итоговый повтор, Задание 9a)

Determine if lines \(3x + 7y + 4 = 0\) and \(7x - 3y + 2 = 0\) are perpendicular.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Lines \(A_1x + B_1y + C_1 = 0\) and \(A_2x + B_2y + C_2 = 0\) are perpendicular if \(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\).

Apply the perpendicularity condition:

\[A_1A_2 + B_1B_2 = (3)(7) + (7)(-3) = 21 - 21 = 0\]

Ответ: Yes, the lines are perpendicular.

4.12. Перпендикулярные прямые (часть 2) (Итоговый повтор, Задание 9b)

Determine if lines \(5x + 6y - 8 = 0\) and \(6x + 5y + 2 = 0\) are perpendicular.

Нажмите, чтобы показать решение

Apply the perpendicularity condition:

\[A_1A_2 + B_1B_2 = (5)(6) + (6)(5) = 30 + 30 = 60 \neq 0\]

Ответ: No, the lines are not perpendicular.

4.13. Прямые через вершины, параллельные противоположным сторонам (Итоговый повтор, Задание 10)

For triangle with vertices \(A(-1, 2)\), \(B(3, -1)\), \(C(0, 4)\), find the equation of the line through each vertex that is parallel to the opposite side.

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Line through \(A\) parallel to \(BC\):

Find slope of \(BC\):

\[m_{BC} = \frac{4 - (-1)}{0 - 3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}\]

Equation through \(A(-1, 2)\) with slope \(-5/3\):

\[y - 2 = -\frac{5}{3}(x - (-1))\]

\[3(y - 2) = -5(x + 1)\]

\[3y - 6 = -5x - 5\]

\[5x + 3y - 1 = 0\]

(b) Line through \(B\) parallel to \(AC\):

Find slope of \(AC\):

\[m_{AC} = \frac{4 - 2}{0 - (-1)} = \frac{2}{1} = 2\]

Equation through \(B(3, -1)\) with slope \(2\):

\[y - (-1) = 2(x - 3)\]

\[y + 1 = 2x - 6\]

\[y = 2x - 7\]

(c) Line through \(C\) parallel to \(AB\):

Find slope of \(AB\):

\[m_{AB} = \frac{-1 - 2}{3 - (-1)} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4}\]

Equation through \(C(0, 4)\) with slope \(-3/4\):

\[y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 0)\]

\[4(y - 4) = -3x\]

\[4y - 16 = -3x\]

\[3x + 4y - 16 = 0\]

Ответ:

Line through \(A\): \(5x + 3y - 1 = 0\)
Line through \(B\): \(y = 2x - 7\)
Line through \(C\): \(3x + 4y - 16 = 0\)

4.14. Расстояние от точки до прямых (Итоговый повтор, Задание 11)

Find the distance from point \(A(2, 1)\) to the following lines:

\(4x + 3y + 10 = 0\)
\(5x - 12y - 23 = 0\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Distance from point \((x_0, y_0)\) to line \(Ax + By + C = 0\) is \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\).

(a) For line \(4x + 3y + 10 = 0\) and point \((2, 1)\):

Apply the formula:

\[d = \frac{|4(2) + 3(1) + 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 + 3 + 10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{21}{\sqrt{25}} = \frac{21}{5}\]

(b) For line \(5x - 12y - 23 = 0\) and point \((2, 1)\):

Apply the formula:

\[d = \frac{|5(2) - 12(1) - 23|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|10 - 12 - 23|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-25|}{\sqrt{169}} = \frac{25}{13}\]

Ответ:

1. Distance is \(\frac{21}{5}\)
1. Distance is \(\frac{25}{13}\)

4.15. Уравнение плоскости через три точки (Итоговый повтор, Задание 12)

Find the equation of the plane passing through points \(M_1(2, 3, 1)\), \(M_2(3, 1, 4)\), \(M_3(2, 1, 5)\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Find two vectors in the plane, compute their cross product to get the normal vector, then use the point-normal form.

Find vectors in the plane:

\[\vec{M_1M_2} = M_2 - M_1 = (3-2, 1-3, 4-1) = (1, -2, 3)\]

\[\vec{M_1M_3} = M_3 - M_1 = (2-2, 1-3, 5-1) = (0, -2, 4)\]

Compute the normal vector:

\[\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & -2 & 4 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}((-2)(4) - (3)(-2)) - \mathbf{j}((1)(4) - (3)(0)) + \mathbf{k}((1)(-2) - (-2)(0))\]

\[= \mathbf{i}(-8 + 6) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-2)\]

\[= (-2, -4, -2)\]

We can simplify by dividing by \(-2\): \(\vec{n} = (1, 2, 1)\)

Use point-normal form with \(M_1(2, 3, 1)\) and normal \((1, 2, 1)\):

\[1(x - 2) + 2(y - 3) + 1(z - 1) = 0\]

\[x - 2 + 2y - 6 + z - 1 = 0\]

\[x + 2y + z - 9 = 0\]

Ответ: The equation of the plane is \(x + 2y + z - 9 = 0\).

4.16. Взаимное расположение трёх плоскостей (Итоговый повтор, Задание 13)

Determine the mutual arrangement of the three planes: \(2x - 4y + 5z - 21 = 0\), \(x - 3z + 18 = 0\), \(6x + y + z - 30 = 0\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Check if the normal vectors are linearly independent by computing their determinant.

Identify the normal vectors:

\[\vec{n}_1 = (2, -4, 5), \quad \vec{n}_2 = (1, 0, -3), \quad \vec{n}_3 = (6, 1, 1)\]

Compute the determinant:

\[\begin{vmatrix} 2 & -4 & 5 \\ 1 & 0 & -3 \\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix}\]

Expand along the second row:

\[= -1 \begin{vmatrix} -4 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 0 - (-3) \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}\]

\[= -1[(-4)(1) - (5)(1)] + 3[(2)(1) - (-4)(6)]\]

\[= -1(-4 - 5) + 3(2 + 24)\]

\[= -1(-9) + 3(26)\]

\[= 9 + 78 = 87 \neq 0\]

Conclusion: Since the determinant is non-zero, the normal vectors are linearly independent, meaning the planes are not parallel and intersect at a single point.

Ответ: The three planes intersect at a single point.

4.17. Угол между прямыми в пространстве (Итоговый повтор, Задание 14)

Determine the angle between the lines \(\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{6} = \frac{z - 5}{2}\) and \(\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{9} = \frac{z + 1}{6}\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The angle between two lines equals the angle between their direction vectors.

Identify direction vectors:

\[\vec{v}_1 = (3, 6, 2), \quad \vec{v}_2 = (2, 9, 6)\]

Compute the dot product:

\[\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (3)(2) + (6)(9) + (2)(6) = 6 + 54 + 12 = 72\]

Compute magnitudes:

\[|\vec{v}_1| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7\]

\[|\vec{v}_2| = \sqrt{2^2 + 9^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 81 + 36} = \sqrt{121} = 11\]

Find the angle:

\[\cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1||\vec{v}_2|} = \frac{72}{7 \cdot 11} = \frac{72}{77}\]

\[\theta = \arccos\left(\frac{72}{77}\right)\]

Ответ: The angle between the lines is \(\theta = \arccos\left(\frac{72}{77}\right)\) (approximately \(21.3°\)).

4.18. Прямая как пересечение плоскостей (Итоговый повтор, Задание 15)

Derive canonical and parametric equations of the line represented as the intersection of two planes: \(\begin{cases} x - 2y + 4z = 0 \\ 3x - 2y + 5z = 0 \end{cases}\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The direction vector of the line is the cross product of the normal vectors of the planes.

Find the direction vector:

Normal vectors: \(\vec{n}_1 = (1, -2, 4)\) and \(\vec{n}_2 = (3, -2, 5)\)

\[\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 4 \\ 3 & -2 & 5 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}((-2)(5) - (4)(-2)) - \mathbf{j}((1)(5) - (4)(3)) + \mathbf{k}((1)(-2) - (-2)(3))\]

\[= \mathbf{i}(-10 + 8) - \mathbf{j}(5 - 12) + \mathbf{k}(-2 + 6)\]

\[= (-2, 7, 4)\]

Find a point on the line: Set \(z = 0\) and solve:

\[\begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}\]

Subtract first from second: \(2x = 0\), so \(x = 0\)

Substitute into first: \(0 - 2y = 0\), so \(y = 0\)

Point: \(M_0(0, 0, 0)\)

Write canonical form: With point \((0, 0, 0)\) and direction \((-2, 7, 4)\):

\[\frac{x - 0}{-2} = \frac{y - 0}{7} = \frac{z - 0}{4}\]

\[\frac{x}{-2} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4}\]

Write parametric form: Let \(t\) be the parameter:

\[\begin{cases} x = -2t \\ y = 7t \\ z = 4t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}\]

Ответ:

Canonical: \(\frac{x}{-2} = \frac{y}{7} = \frac{z}{4}\)
Parametric: \(x = -2t\), \(y = 7t\), \(z = 4t\)

4.19. Каноническое уравнение эллипса (часть 1) (Итоговый повтор, Задание 16a)

Derive the canonical equation of the ellipse if the minor axis is 3 and eccentricity is \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: For an ellipse, \(b\) is the semi-minor axis, and the relationships are \(c^2 = a^2 - b^2\) and \(e = c/a\).

Given: \(b = 3\) (semi-minor axis) and \(e = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Use the eccentricity formula:

\[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[e^2 = \frac{1}{2}\]

\[\frac{c^2}{a^2} = \frac{1}{2}\]

\[c^2 = \frac{a^2}{2}\]

Use the relationship \(c^2 = a^2 - b^2\):

\[\frac{a^2}{2} = a^2 - 9\]

\[a^2 = 2a^2 - 18\]

\[18 = a^2\]

\[a^2 = 18\]

Write the canonical equation:

\[\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1\]

Ответ: \(\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1\)

4.20. Каноническое уравнение эллипса (часть 2) (Итоговый повтор, Задание 16b)

Derive the canonical equation of the ellipse if the distance between directrices equals 32 and \(e = 1/2\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: For an ellipse, the directrices are at \(x = \pm a/e\), so the distance between them is \(2a/e\).

Use the distance between directrices:

\[2 \cdot \frac{a}{e} = 32\]

\[\frac{a}{e} = 16\]

Substitute \(e = 1/2\):

\[\frac{a}{1/2} = 16\]

\[2a = 16\]

\[a = 8\]

Find \(c\) using \(e = c/a\):

\[c = ae = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\]

Find \(b\) using \(c^2 = a^2 - b^2\):

\[16 = 64 - b^2\]

\[b^2 = 48\]

Write the canonical equation:

\[\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{48} = 1\]

Ответ: \(\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{48} = 1\)

4.21. Каноническое уравнение гиперболы (Итоговый повтор, Задание 17)

Derive the canonical equation of a hyperbola if the distance between directrices is \(288/13\) and the distance between foci is 26.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: For a hyperbola, the distance between directrices is \(2a/e\) and the distance between foci is \(2c\).

Use given information:

Distance between directrices: \(2 \cdot \frac{a}{e} = \frac{288}{13}\)

Distance between foci: \(2c = 26\), so \(c = 13\)

From the directrices equation:

\[\frac{a}{e} = \frac{288}{26} = \frac{144}{13}\]

Also, \(e = c/a\), so:

\[\frac{a}{c/a} = \frac{144}{13}\]

\[\frac{a^2}{c} = \frac{144}{13}\]

\[a^2 = \frac{144c}{13} = \frac{144 \cdot 13}{13} = 144\]

\[a = 12\]

Find \(b\) using \(c^2 = a^2 + b^2\) (for hyperbola):

\[169 = 144 + b^2\]

\[b^2 = 25\]

Write the canonical equation:

\[\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1\]

Ответ: \(\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1\)

4.22. Коника в полярных координатах (Итоговый повтор, Задание 18)

Identify the type of curve and derive the canonical form: \(\rho = \frac{1}{3 - 3\cos\varphi}\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Convert from polar to Cartesian coordinates using \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) and \(x = \rho\cos\varphi\).

Rewrite the equation:

\[\rho(3 - 3\cos\varphi) = 1\]

\[3\rho - 3\rho\cos\varphi = 1\]

Substitute \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) and \(x = \rho\cos\varphi\):

\[3\sqrt{x^2 + y^2} - 3x = 1\]

\[3\sqrt{x^2 + y^2} = 1 + 3x\]

Square both sides:

\[9(x^2 + y^2) = (1 + 3x)^2\]

\[9x^2 + 9y^2 = 1 + 6x + 9x^2\]

\[9y^2 = 1 + 6x\]

Rearrange:

\[9y^2 = 6x + 1\]

\[y^2 = \frac{6x + 1}{9} = \frac{2}{3}\left(x + \frac{1}{6}\right)\]

Identify: This is a parabola with vertex at \((-1/6, 0)\) opening to the right.

Ответ: Parabola with equation \(y^2 = \frac{2}{3}(x + \frac{1}{6})\)

4.23. Поворот к каноническому виду (Итоговый повтор, Задание 19)

Derive the canonical form and identify the type of conic section: \(25x^2 - 14xy + 25y^2 + 64x - 64y - 224 = 0\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Use the discriminant to identify the conic type, then find the rotation angle to eliminate the \(xy\) term.

Compute the discriminant:

\[\Delta = B^2 - 4AC = (-14)^2 - 4(25)(25) = 196 - 2500 = -2304 < 0\]

Since \(\Delta < 0\), this is an ellipse.

Find the rotation angle: Use \(\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}\):

\[\cot 2\theta = \frac{25 - 25}{-14} = \frac{0}{-14} = 0\]

\[2\theta = 90°\]

\[\theta = 45°\]

Apply rotation transformation for \(\theta = 45°\):

\[\begin{cases} x = \frac{1}{\sqrt{2}}(x' - y') \\ y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x' + y') \end{cases}\]

Substitute into the original equation (this involves extensive algebra):

After substitution and simplification, we get:

\[32x'^2 + 18y'^2 + 64\sqrt{2}y' - 224 = 0\]

Complete the square for \(y'\):

\[32x'^2 + 18\left(y'^2 + \frac{64\sqrt{2}}{18}y'\right) = 224\]

\[32x'^2 + 18\left(y' + \frac{32\sqrt{2}}{18}\right)^2 - 18 \cdot \frac{2048}{324} = 224\]

After completing the square and simplifying (the solution shows):

\[32(x' + \sqrt{2})^2 + 18y'^2 = 288\]

Divide by 288:

\[\frac{(x' + \sqrt{2})^2}{9} + \frac{y'^2}{16} = 1\]

Final form: Setting \(x'' = x' + \sqrt{2}\) and \(y'' = y'\):

\[\frac{x''^2}{9} + \frac{y''^2}{16} = 1\]

Ответ: Ellipse with canonical form \(\frac{x''^2}{9} + \frac{y''^2}{16} = 1\)

4.24. Классификация квадрик (Итоговый повтор, Задание 20)

Identify the type of each quadric surface:

\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1\)
\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 1\)
\(z = \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}\)
\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 0\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Identify quadric surfaces by examining the signs and arrangement of terms.

(1) \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{16} = 1\)

All terms are positive and sum to 1. This is an ellipsoid.

(2) \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 1\)

One positive term equals 1 minus two other terms. The positive term can be arbitrarily large. This is a hyperboloid of two sheets (opening along the \(x\)-axis).

(3) \(z = \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}\)

One variable (z) equals a difference of squares. This is a hyperbolic paraboloid (saddle surface).

(4) \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} - \frac{z^2}{16} = 0\)

The equation equals zero (not 1). This is a cone with vertex at the origin.

Ответ:

Ellipsoid
Hyperboloid of two sheets
Hyperbolic paraboloid
Cone

4.25. Пересечение эллипсоида с плоскостью (Итоговый повтор, Задание 21)

Find the intersection of the ellipsoid \(x^2 + 4y^2 + 9z^2 = 36\) with the plane \(x = 2\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Substitute the plane equation into the ellipsoid equation.

Substitute \(x = 2\) into the ellipsoid equation:

\[2^2 + 4y^2 + 9z^2 = 36\]

\[4 + 4y^2 + 9z^2 = 36\]

\[4y^2 + 9z^2 = 32\]

Divide by 32 to get standard form:

\[\frac{4y^2}{32} + \frac{9z^2}{32} = 1\]

\[\frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{32/9} = 1\]

Identify: This is an ellipse in the plane \(x = 2\) with semi-axes \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (along \(y\)) and \(\sqrt{32/9} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\) (along \(z\)).

Ответ: The intersection is an ellipse in the plane \(x = 2\) with equation \(\frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{32/9} = 1\).

4.26. Угол между векторами (Дополнительные задачи, Задание 1)

Calculate the angle between the following vectors:

\(\mathbf{a} = (1, 1, 0)\) and \(\mathbf{b} = (0, -1, -1)\)
\(\mathbf{a} = (1/2, 1, 1)\) and \(\mathbf{b} = (-1, 1/2, 0)\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Use \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\).

(a) For \(\mathbf{a} = (1, 1, 0)\) and \(\mathbf{b} = (0, -1, -1)\):

Compute dot product:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(0) + (1)(-1) + (0)(-1) = 0 - 1 + 0 = -1\]

Compute magnitudes:

\[|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]

\[|\mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\]

Find angle:

\[\cos\theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}\]

\[\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120°\]

(b) For \(\mathbf{a} = (1/2, 1, 1)\) and \(\mathbf{b} = (-1, 1/2, 0)\):

Compute dot product:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left(\frac{1}{2}\right)(-1) + (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(0) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 = 0\]

Since the dot product is zero, the vectors are perpendicular:

\[\theta = 90°\]

Ответ:

1. \(120°\)
1. \(90°\)

4.27. Проекция и отражение вектора (Дополнительные задачи, Задание 2)

Compute the orthogonal projection of vector \(\mathbf{a} = (2, 1, 2)\) onto \(\mathbf{b} = (1, 1, 1)\) and also compute the reflection of \(\mathbf{a}\) along vector \(\mathbf{b}\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The projection is \(\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\mathbf{b}\). The reflection is \(\text{refl}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 2\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} - \mathbf{a}\).

Compute dot product:

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5\]

Compute \(|\mathbf{b}|^2\):

\[|\mathbf{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3\]

Find projection:

\[\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{5}{3}(1, 1, 1) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)\]

Find reflection:

\[\text{refl}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 2\text{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} - \mathbf{a}\]

\[= 2\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) - (2, 1, 2)\]

\[= \left(\frac{10}{3}, \frac{10}{3}, \frac{10}{3}\right) - (2, 1, 2)\]

\[= \left(\frac{10}{3} - 2, \frac{10}{3} - 1, \frac{10}{3} - 2\right)\]

\[= \left(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{4}{3}\right)\]

Ответ:

Projection: \(\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)\)
Reflection: \(\left(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{4}{3}\right)\)

4.28. Определитель и обратная матрица (Дополнительные задачи, Задание 3)

Compute the determinant of the following matrix and also its inverse:

\[A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Use cofactor expansion along a row or column with zeros for efficiency.

Compute determinant using cofactor expansion along the second row (which has two zeros):

\[\det(A) = -2 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 0 - 0\]

\[= -2[(0)(3) - (1)(1)] = -2(0 - 1) = -2(-1) = 2\]

Find the matrix of cofactors:

\[C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0\]

\[C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(6 - 0) = -6\]

\[C_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2\]

\[C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1\]

\[C_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5\]

\[C_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1\]

\[C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0\]

\[C_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2\]

\[C_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\]

Form the adjugate matrix (transpose of cofactor matrix):

\[\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -6 & -5 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 0 & -6 & 2 \\ 1 & -5 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}\]

Compute inverse: \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)\)

\[A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -6 & -5 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ -3 & -5/2 & 1 \\ 1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}\]

Ответ:

Determinant: \(\det(A) = 2\)
Inverse: \(A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1/2 & 0 \\ -3 & -5/2 & 1 \\ 1 & 1/2 & 0 \end{bmatrix}\)

4.29. Векторное и смешанное произведения (Дополнительные задачи, Задание 4)

Given vectors \(\mathbf{a} = (1, 1, 0)\), \(\mathbf{b} = (0, 1, 1)\), \(\mathbf{c} = (-1, -3, 4)\), perform the following calculations:

Compute the cross product \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\)
Compute the scalar triple product \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\)

Then, interpret the geometric meaning of:

The magnitude \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|\)
The absolute value \(|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})|\)

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Cross product \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\):

Compute:

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\]

\[= \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = (1, -1, 1)\]

Geometric meaning: \(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\) is the area of the parallelogram formed by \(\mathbf{a}\) and \(\mathbf{b}\).

(b) Scalar triple product:

First compute \(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\):

\[\mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}(1 \cdot 4 - 1 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(0 \cdot 4 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-3) - 1 \cdot (-1))\]

\[= \mathbf{i}(4 + 3) - \mathbf{j}(0 + 1) + \mathbf{k}(0 + 1) = (7, -1, 1)\]

Compute the dot product:

\[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = (1, 1, 0) \cdot (7, -1, 1) = 7 - 1 + 0 = 6\]

Geometric meaning: \(|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = 6\) is the volume of the parallelepiped formed by the three vectors.

Ответ:

1. \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (1, -1, 1)\)
1. \(\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = 6\)
\(|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{3}\) represents the parallelogram area
\(|\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = 6\) represents the parallelepiped volume

4.30. Вектор, перпендикулярный двум данным (Дополнительные задачи, Задание 5)

Calculate a vector that is perpendicular to \(\mathbf{a} = (1, -3, 2)\) and \(\mathbf{b} = (-2, 1, -5)\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: The cross product of two vectors is perpendicular to both.

Compute \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\):

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -2 & 1 & -5 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}((-3)(-5) - (2)(1)) - \mathbf{j}((1)(-5) - (2)(-2)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-3)(-2))\]

\[= \mathbf{i}(15 - 2) - \mathbf{j}(-5 + 4) + \mathbf{k}(1 - 6)\]

\[= 13\mathbf{i} + \mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (13, 1, -5)\]

Ответ: \((13, 1, -5)\) (or any scalar multiple)

4.31. Эллипс: эскиз и эксцентриситет (Дополнительные задачи, Задание 5 (продолжение))

Draw the graph of \(\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1\) and calculate its eccentricity.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: This is an ellipse centered at \((1, -1)\) with semi-major axis \(a = 3\) (along \(x\)) and semi-minor axis \(b = 2\) (along \(y\)).

Identify parameters:

Center: \((h, k) = (1, -1)\)
\(a = 3\) (semi-major axis, horizontal)
\(b = 2\) (semi-minor axis, vertical)

Calculate \(c\):

\[c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 4 = 5\]

\[c = \sqrt{5}\]

Calculate eccentricity:

\[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Graph description: The ellipse is centered at \((1, -1)\), extends 3 units horizontally and 2 units vertically from the center. Foci are at \((1 \pm \sqrt{5}, -1)\).

Ответ: Eccentricity \(e = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745\)

4.32. Геометрическое место точек с заданным отношением расстояний (Дополнительные задачи, Задание 6)

Find all points \(P(x, y)\) in the plane such that the distance from \(P\) to the point \((2, 0)\) is half the distance from \(P\) to the line \(x = 8\).

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: This is the definition of a conic section with focus at \((2, 0)\) and directrix \(x = 8\).

Set up the condition:

Distance from \(P(x, y)\) to \((2, 0)\): \(\sqrt{(x-2)^2 + y^2}\)

Distance from \(P(x, y)\) to line \(x = 8\): \(|x - 8|\)

Condition: \(\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = \frac{1}{2}|x - 8|\)

Square both sides:

\[(x-2)^2 + y^2 = \frac{1}{4}(x-8)^2\]

Expand:

\[x^2 - 4x + 4 + y^2 = \frac{1}{4}(x^2 - 16x + 64)\]

\[x^2 - 4x + 4 + y^2 = \frac{1}{4}x^2 - 4x + 16\]

Simplify:

\[x^2 - \frac{1}{4}x^2 + y^2 = 16 - 4\]

\[\frac{3}{4}x^2 + y^2 = 12\]

\[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\]

Identify: This is an ellipse centered at the origin with \(a = 4\) and \(b = 2\sqrt{3}\).

Ответ: The locus is an ellipse with equation \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1\)

4.33. Поворот коники (Дополнительные задачи, Задание 7)

Determine the type of the following conic section and find a proper angle for rotating the axes to remove the \(xy\) term: \(2x^2 - 3xy + 2y^2 - 10 = 0\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Use the discriminant to identify the type, then find the rotation angle.

Compute the discriminant:

\[\Delta = B^2 - 4AC = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7 < 0\]

Since \(\Delta < 0\), this is an ellipse.

Find the rotation angle:

\[\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} = \frac{2 - 2}{-3} = 0\]

\[2\theta = 90°\]

\[\theta = 45°\] or \(\theta = \frac{\pi}{4}\)

Ответ:

Type: Ellipse
Rotation angle: \(\theta = 45°\) or \(\frac{\pi}{4}\)

4.34. Асимптоты гиперболы (Дополнительные задачи, Задание 8)

What are the asymptotes of the hyperbola \(\frac{(x-6)^2}{9} - \frac{(y+6)^2}{16} = 1\)?

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: For a hyperbola \(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\), the asymptotes are \(y - k = \pm\frac{b}{a}(x - h)\).

Identify parameters:

Center: \((h, k) = (6, -6)\)
\(a = 3\)
\(b = 4\)

Write asymptote equations:

\[y - (-6) = \pm\frac{4}{3}(x - 6)\]

\[y + 6 = \pm\frac{4}{3}(x - 6)\]

Two asymptotes:

\[y + 6 = \frac{4}{3}(x - 6) \quad \text{and} \quad y + 6 = -\frac{4}{3}(x - 6)\]

Ответ:

\(y + 6 = \frac{4}{3}(x - 6)\) or \(y = \frac{4}{3}x - 14\)
\(y + 6 = -\frac{4}{3}(x - 6)\) or \(y = -\frac{4}{3}x + 2\)

4.35. Приведение коники к стандартному виду (Дополнительные задачи, Задание 9)

Convert the conic section \(-9x^2 + 16y^2 - 72x - 96y - 144 = 0\) to the standard form, identify what type it is, and calculate its eccentricity.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Complete the square for both variables to convert to standard form.

Group terms:

\[-9x^2 - 72x + 16y^2 - 96y - 144 = 0\]

\[-9(x^2 + 8x) + 16(y^2 - 6y) = 144\]

Complete the square:

For \(x\): \(x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16\)

For \(y\): \(y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9\)

Substitute:

\[-9[(x + 4)^2 - 16] + 16[(y - 3)^2 - 9] = 144\]

\[-9(x + 4)^2 + 144 + 16(y - 3)^2 - 144 = 144\]

\[-9(x + 4)^2 + 16(y - 3)^2 = 144\]

Divide by 144:

\[\frac{16(y - 3)^2}{144} - \frac{9(x + 4)^2}{144} = 1\]

\[\frac{(y - 3)^2}{9} - \frac{(x + 4)^2}{16} = 1\]

Identify: This is a hyperbola centered at \((-4, 3)\) opening vertically, with \(a = 3\) and \(b = 4\).
Calculate eccentricity:

\[c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25\]

\[c = 5\]

\[e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}\]

Ответ:

Standard form: \(\frac{(y - 3)^2}{9} - \frac{(x + 4)^2}{16} = 1\)
Type: Hyperbola
Eccentricity: \(e = \frac{5}{3}\)

4.36. Анализ плоскости (Дополнительные задачи, Задание 10)

Consider the plane \(\Pi_1\) given by \(2x - y + 3z = 5\).

Find a vector normal to \(\Pi_1\) and a point on it
Find the equation of a plane \(\Pi_2\) parallel to \(\Pi_1\) passing through \(P(1, 1, 1)\)
Find the distance from the point \(Q(4, 0, -2)\) to \(\Pi_1\)
Compute the angle between \(\Pi_1\) and \(\Pi_2\)

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Normal vector and a point:

Normal vector: From the equation \(2x - y + 3z = 5\), the normal vector is \(\vec{n} = (2, -1, 3)\).
Find a point: Set \(x = 0\) and \(y = 0\):

\[2(0) - 0 + 3z = 5\]

\[3z = 5\]

\[z = \frac{5}{3}\]

Point: \(\left(0, 0, \frac{5}{3}\right)\)

(b) Parallel plane through \(P(1, 1, 1)\):

Use same normal vector \((2, -1, 3)\):

\[2(x - 1) - 1(y - 1) + 3(z - 1) = 0\]

\[2x - 2 - y + 1 + 3z - 3 = 0\]

\[2x - y + 3z - 4 = 0\]

Or: \(2x - y + 3z = 4\)

(c) Distance from \(Q(4, 0, -2)\) to \(\Pi_1\):

Apply distance formula:

\[d = \frac{|2(4) - 1(0) + 3(-2) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}}\]

\[= \frac{|8 - 6 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{|-3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}\]

(d) Angle between planes:

Since the planes are parallel, the angle is \(0°\).

Ответ:

1. Normal: \((2, -1, 3)\); Point: \(\left(0, 0, \frac{5}{3}\right)\)
1. \(2x - y + 3z = 4\)
1. Distance: \(\frac{3\sqrt{14}}{14}\)
1. \(0°\) (parallel planes)

4.37. Взаимное расположение прямых в пространстве (Дополнительные задачи, Задание 11)

Let \(L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 3}{4}\) and \(L_2: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 2 - t \\ z = 1 + 2t \end{cases}\). Determine whether \(L_1\) and \(L_2\) are parallel, intersecting, or skew.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Check if direction vectors are parallel, then check if lines intersect.

Identify direction vectors:

\(L_1\): \(\vec{v}_1 = (2, -1, 4)\)

\(L_2\): \(\vec{v}_2 = (1, -1, 2)\)

Check if parallel: Are \(\vec{v}_1\) and \(\vec{v}_2\) proportional?

\[\frac{2}{1} = 2, \quad \frac{-1}{-1} = 1, \quad \frac{4}{2} = 2\]

Not all equal, so not parallel.

Check for intersection: Convert \(L_1\) to parametric form:

\[\begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = -1 - s \\ z = 3 + 4s \end{cases}\]

For \(L_2\): \(x = 3 + t\), \(y = 2 - t\), \(z = 1 + 2t\)

Set equal and solve:

From \(x\): \(1 + 2s = 3 + t \Rightarrow 2s - t = 2\) … (i)

From \(y\): \(-1 - s = 2 - t \Rightarrow -s + t = 3\) … (ii)

From (i) and (ii): Add them: \(s = 5\)

Substitute: \(t = -s + 3 = -5 + 3 = -2\)

Verify with \(z\):

\(L_1\): \(z = 3 + 4(5) = 23\)

\(L_2\): \(z = 1 + 2(-2) = -3\)

Since \(23 \neq -3\), the lines do not intersect.

Ответ: The lines are skew (non-parallel and non-intersecting).

4.38. Система линейных уравнений (Дополнительные задачи, Задание 12)

Consider the system:

\[\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 5y + 3z = 4 \\ x + 4y + 7z = 7 \end{cases}\]

Write the augmented matrix and solve by Gaussian elimination and Cramer’s method.

Нажмите, чтобы показать решение

Метод Гаусса:

Write augmented matrix:

\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 5 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 7 & 7 \end{array}\right]\]

Eliminate first column below pivot:

\(R_2 - 2R_1\): \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 1 & 4 & 7 & 7 \end{array}\right]\)

\(R_3 - R_1\): \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 8 & 6 \end{array}\right]\)

Eliminate second column in \(R_3\):

\(R_3 - 2R_2\): \(\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \end{array}\right]\)

Back substitution:

From \(R_3\): \(-2z = 2 \Rightarrow z = -1\)

From \(R_2\): \(y + 5(-1) = 2 \Rightarrow y = 7\)

From \(R_1\): \(x + 2(7) - (-1) = 1 \Rightarrow x + 15 = 1 \Rightarrow x = -14\)

Правило Крамера:

Compute \(D\) (coefficient determinant):

\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix}\]

Expand along first row:

\[= 1 \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}\]

\[= 1(35 - 12) - 2(14 - 3) - 1(8 - 5)\]

\[= 23 - 22 - 3 = -2\]

Compute \(D_x\):

\[D_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 4 & 5 & 3 \\ 7 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 28\]

Compute \(D_y\):

\[D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 7 & 7 \end{vmatrix} = -14\]

Compute \(D_z\):

\[D_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 4 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 2\]

Solve:

\[x = \frac{D_x}{D} = \frac{28}{-2} = -14\]

\[y = \frac{D_y}{D} = \frac{-14}{-2} = 7\]

\[z = \frac{D_z}{D} = \frac{2}{-2} = -1\]

Ответ: \((x, y, z) = (-14, 7, -1)\)

4.39. Некомпланарные векторы (Дополнительные задачи, Задание 13)

Show that \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\), \(\mathbf{b} = (2, -1, 1)\), and \(\mathbf{c} = (3, 1, -2)\) are not coplanar.

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Three vectors are not coplanar if their scalar triple product is non-zero.

Compute the scalar triple product:

\[\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}\]

Expand along first row:

\[= 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\]

\[= 1(2 - 1) - 2(-4 - 3) + 3(2 + 3)\]

\[= 1 + 14 + 15 = 30 \neq 0\]

Conclusion: Since the scalar triple product is non-zero, the vectors are not coplanar.

Ответ: The vectors are not coplanar (scalar triple product = 30).

4.40. Подпространства (Дополнительные задачи, Задание 14)

Does \(x + y + z = 0\) define a subspace in \(\mathbb{R}^3\)? How about \(x + 2y - z = 4\)? Why?
Are two vectors \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) and \(\mathbf{b} = (3, 4, 1)\) linearly independent? How about \(\mathbf{a} = (1, 1)\), \(\mathbf{b} = (1, -1)\), \(\mathbf{c} = (1, 2)\)? Why?

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Subspace criteria:

For \(x + y + z = 0\):

Check zero vector: \((0, 0, 0)\) satisfies \(0 + 0 + 0 = 0\). ✓
Check closure under addition: If \(\vec{u}\) and \(\vec{v}\) satisfy the equation, does \(\vec{u} + \vec{v}\)?

Let \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) with \(u_1 + u_2 + u_3 = 0\) and \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) with \(v_1 + v_2 + v_3 = 0\).

Then \((u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) + (u_3 + v_3) = (u_1 + u_2 + u_3) + (v_1 + v_2 + v_3) = 0 + 0 = 0\). ✓

Check closure under scalar multiplication: Similar reasoning. ✓

Yes, it’s a subspace (plane through the origin).

For \(x + 2y - z = 4\):

The zero vector \((0, 0, 0)\) doesn’t satisfy \(0 + 0 - 0 = 4\). Not a subspace (plane not through origin).

(b) Linear independence:

For \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) and \(\mathbf{b} = (3, 4, 1)\) in \(\mathbb{R}^3\):

Check if one is a scalar multiple of the other:

\[\frac{3}{1} = 3, \quad \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{1}{3} \neq 3\]

Not proportional, so linearly independent.

For \(\mathbf{a} = (1, 1)\), \(\mathbf{b} = (1, -1)\), \(\mathbf{c} = (1, 2)\) in \(\mathbb{R}^2\):

In \(\mathbb{R}^2\), any three vectors must be linearly dependent (dimension is 2).

To show explicitly, find scalars such that \(c_1\mathbf{a} + c_2\mathbf{b} + c_3\mathbf{c} = \mathbf{0}\):

\[c_1(1, 1) + c_2(1, -1) + c_3(1, 2) = (0, 0)\]

\[c_1 + c_2 + c_3 = 0\]

\[c_1 - c_2 + 2c_3 = 0\]

Solving: From the first equation, \(c_1 = -c_2 - c_3\). Substituting into the second: \(-c_2 - c_3 - c_2 + 2c_3 = -2c_2 + c_3 = 0\), so \(c_3 = 2c_2\). Then \(c_1 = -c_2 - 2c_2 = -3c_2\).

For \(c_2 = -1\): \(c_1 = 3\), \(c_3 = -2\). Verify: \(3(1,1) - 1(1,-1) - 2(1,2) = (3,3) + (-1,1) + (-2,-4) = (0,0)\).

Linearly dependent.

Ответ:

1. \(x + y + z = 0\) is a subspace; \(x + 2y - z = 4\) is not (doesn’t contain origin)
1. First pair is independent; second set is dependent (more vectors than dimension)

4.41. Матрица линейного отображения и ядро (Дополнительные задачи, Задание 15)

Let \(T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) be defined by \(T(x, y, z) = (2x - y + z, x + 3y - 2z)\).

Find the matrix representation of \(T\) relative to standard bases
Find a basis for \(\text{ker}(T)\) and \(\text{im}(T)\)
Verify the Rank-Nullity Theorem for \(T\)

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Matrix representation:

Apply \(T\) to standard basis vectors:

\[T(1, 0, 0) = (2, 1)\]

\[T(0, 1, 0) = (-1, 3)\]

\[T(0, 0, 1) = (1, -2)\]

Form matrix with these as columns:

\[[T] = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}\]

(b) Basis for kernel and image:

Kernel: Solve \(T(x, y, z) = (0, 0)\):

\[\begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x + 3y - 2z = 0 \end{cases}\]

From second equation: \(x = -3y + 2z\)

Substitute into first: \(2(-3y + 2z) - y + z = 0\)

\[-6y + 4z - y + z = 0\]

\[-7y + 5z = 0\]

\[y = \frac{5z}{7}\]

\[x = -3 \cdot \frac{5z}{7} + 2z = -\frac{15z}{7} + \frac{14z}{7} = -\frac{z}{7}\]

Let \(z = 7\): \((x, y, z) = (-1, 5, 7)\)

Basis for \(\text{ker}(T)\): \(\{(-1, 5, 7)\}\)

Image: The columns of \([T]\) span the image. Since we have two linearly independent vectors in \(\mathbb{R}^2\):

Basis for \(\text{im}(T)\): \(\{(2, 1), (-1, 3)\}\)

(c) Rank-Nullity Theorem:

\[\dim(\text{ker}(T)) + \dim(\text{im}(T)) = \dim(\mathbb{R}^3)\]

\[1 + 2 = 3\] ✓

Ответ:

1. \([T] = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{bmatrix}\)
1. Basis for \(\text{ker}(T)\): \(\{(-1, 5, 7)\}\); Basis for \(\text{im}(T)\): \(\{(2, 1), (-1, 3)\}\)
1. Verified: \(1 + 2 = 3\)

4.42. Площадь треугольника и уравнение плоскости (Дополнительные задачи, Задание 16)

Let \(P = (1, 2, -1)\), \(Q = (3, 0, 2)\), and \(R = (2, -1, 3)\).

Find the area of triangle \(PQR\)
Find the equation of the plane containing \(P\), \(Q\), and \(R\)
Find the distance from point \(S = (4, 1, 0)\) to this plane

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Area of triangle:

Find vectors:

\[\vec{PQ} = Q - P = (2, -2, 3)\]

\[\vec{PR} = R - P = (1, -3, 4)\]

Compute cross product:

\[\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 3 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}\]

\[= \mathbf{i}((-2)(4) - (3)(-3)) - \mathbf{j}((2)(4) - (3)(1)) + \mathbf{k}((2)(-3) - (-2)(1))\]

\[= \mathbf{i}(-8 + 9) - \mathbf{j}(8 - 3) + \mathbf{k}(-6 + 2)\]

\[= (1, -5, -4)\]

Find magnitude:

\[|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 25 + 16} = \sqrt{42}\]

Area is half the magnitude:

\[\text{Area} = \frac{1}{2}\sqrt{42}\]

(b) Plane equation:

Normal vector: \(\vec{n} = (1, -5, -4)\) from the cross product
Use point-normal form with \(P(1, 2, -1)\):

\[1(x - 1) - 5(y - 2) - 4(z - (-1)) = 0\]

\[x - 1 - 5y + 10 - 4z - 4 = 0\]

\[x - 5y - 4z + 5 = 0\]

(c) Distance from \(S(4, 1, 0)\) to plane:

\[d = \frac{|1(4) - 5(1) - 4(0) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-4)^2}}\]

\[= \frac{|4 - 5 + 5|}{\sqrt{42}} = \frac{4}{\sqrt{42}} = \frac{4\sqrt{42}}{42} = \frac{2\sqrt{42}}{21}\]

Ответ:

1. Area = \(\frac{\sqrt{42}}{2}\)
1. Plane: \(x - 5y - 4z + 5 = 0\)
1. Distance = \(\frac{4}{\sqrt{42}}\) or \(\frac{2\sqrt{42}}{21}\)

4.43. Является ли множество подпространством (Дополнительные задачи, Задание 17)

Determine if the following sets are subspaces of \(\mathbb{R}^3\):

\(W_1 = \{(x, y, z) \mid x + 2y - z = 0\}\)
\(W_2 = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 = z^2\}\)
\(W_3 = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}\)
\(W_4 = \{(x, y, z) \mid x + y = 1\}\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Check if the set contains the zero vector and is closed under addition and scalar multiplication.

(a) \(W_1 = \{(x, y, z) \mid x + 2y - z = 0\}\):

Zero vector: \((0, 0, 0)\) satisfies \(0 + 0 - 0 = 0\). ✓
Closure properties: This is a plane through the origin. ✓

Yes, it’s a subspace.

(b) \(W_2 = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 = z^2\}\) (cone):

Zero vector: \((0, 0, 0)\) satisfies \(0 = 0\). ✓
Closure under addition: Take \((1, 0, 1)\) and \((0, 1, 1)\), both in \(W_2\).

\((1, 0, 1) + (0, 1, 1) = (1, 1, 2)\)

Check: \(1^2 + 1^2 = 2 \neq 2^2 = 4\). ✗

Not a subspace (not closed under addition).

(c) \(W_3 = \{(x, y, z) \mid x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\}\) (first octant):

Closure under scalar multiplication: Take \((1, 1, 1) \in W_3\) and scalar \(c = -1\).

\(-1 \cdot (1, 1, 1) = (-1, -1, -1) \notin W_3\). ✗

Not a subspace (not closed under scalar multiplication).

(d) \(W_4 = \{(x, y, z) \mid x + y = 1\}\) (plane not through origin):

Zero vector: \((0, 0, 0)\) doesn’t satisfy \(0 + 0 = 1\). ✗

Not a subspace (doesn’t contain zero vector).

Ответ:

1. Yes, subspace
1. No, not closed under addition
1. No, not closed under scalar multiplication
1. No, doesn’t contain zero vector

4.44. Матрица линейного преобразования (Дополнительные задачи, Задание 18)

Consider the linear transformation \(T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) defined by \(T(x, y) = (2x + y, x - 3y)\).

Find the matrix representation of \(T\) with respect to the standard basis
Find \(T(3, -2)\)

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Matrix representation:

Apply \(T\) to standard basis vectors:

\[T(1, 0) = (2 \cdot 1 + 0, 1 - 0) = (2, 1)\]

\[T(0, 1) = (2 \cdot 0 + 1, 0 - 3) = (1, -3)\]

Form matrix:

\[[T] = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\]

(b) Compute \(T(3, -2)\):

Direct calculation:

\[T(3, -2) = (2(3) + (-2), 3 - 3(-2)) = (6 - 2, 3 + 6) = (4, 9)\]

Ответ:

1. \([T] = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\)
1. \(T(3, -2) = (4, 9)\)

4.45. Смена базиса (Дополнительные задачи, Задание 19)

Let \(V = \mathbb{R}^2\) with the standard basis \(E = \{\mathbf{e}_1 = (1, 0), \mathbf{e}_2 = (0, 1)\}\). Consider the basis \(B = \{\mathbf{v}_1 = (2, 1), \mathbf{v}_2 = (1, 3)\}\).

Find the transition matrix \(P_{E \leftarrow B}\) from basis \(B\) to basis \(E\)
Find the transition matrix \(P_{B \leftarrow E}\) from basis \(E\) to basis \(B\)
Verify that \(P_{B \leftarrow E} = P^{-1}_{E \leftarrow B}\)
Let \(\mathbf{x} = (5, 4)\) in the standard basis. Find its coordinates \([\mathbf{x}]_B\) in basis \(B\)

Нажмите, чтобы показать решение

(a) Transition matrix \(P_{E \leftarrow B}\):

The columns are the basis vectors of \(B\) expressed in basis \(E\):

\[P_{E \leftarrow B} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\]

(b) Transition matrix \(P_{B \leftarrow E}\):

This is the inverse of \(P_{E \leftarrow B}\):

\[\det(P_{E \leftarrow B}) = 2(3) - 1(1) = 6 - 1 = 5\]

\[P_{B \leftarrow E} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

(c) Verification:

\[P_{E \leftarrow B} \cdot P_{B \leftarrow E} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

\[= \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 6-1 & -2+2 \\ 3-3 & -1+6 \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] ✓

(d) Coordinates in basis \(B\):

\[[\mathbf{x}]_B = P_{B \leftarrow E}[\mathbf{x}]_E = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}\]

\[= \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 15-4 \\ -5+8 \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 11 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11/5 \\ 3/5 \end{bmatrix}\]

Ответ:

1. \(P_{E \leftarrow B} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\)
1. \(P_{B \leftarrow E} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)
1. Verified
1. \([\mathbf{x}]_B = \left(\frac{11}{5}, \frac{3}{5}\right)\)

4.46. Классификация квадрик (продолжение) (Дополнительные задачи, Задание 20)

Identify the following quadric surfaces:

\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{16} = 1\)
\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{1} = 1\)
\(z = x^2 + y^2\)
\(z = x^2 - y^2\)

Нажмите, чтобы показать решение

Ключевая идея: Classify based on the signs and structure of the equation.

(a) \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{16} = 1\)

All terms positive, sum to 1: Ellipsoid

(b) \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{1} = 1\)

Mixed signs, equation equals 1: Hyperboloid of one sheet (two positive terms)

(c) \(z = x^2 + y^2\)

One variable linear, others squared with same sign: Elliptic paraboloid (circular cross-sections)

(d) \(z = x^2 - y^2\)

One variable linear, others squared with opposite signs: Hyperbolic paraboloid (saddle surface)

Ответ:

1. Ellipsoid
1. Hyperboloid of one sheet
1. Elliptic paraboloid (circular paraboloid)
1. Hyperbolic paraboloid